Question

10．等差数列{a_n}中，$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，若其前n项和S_n有最大值，则当S_n取最小正值时，n=（　　）

• A． 18
• B． 19
• C． 20
• D． 21

Answer 1

分析 由数列的前n项和S_n有最大值，可知数列为递减数列，再由$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，可得a₁₁＜0，a₁₀＞0，a₁₀+a₁₁＜0，然后结合二次函数的性质求得使S_n取最小正值时的n值．

解答 解：∵等差数列{a_n}中，它的前n项和S_n有最大值，$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，
∴a₁＞0，公差d＜0，
由$\frac{{a}_{11}}{{a}_{10}}$＜-1，得$\frac{{a}_{11}+{a}_{10}}{{a}_{10}}＜0$，
∴a₁₁＜0，a₁₀＞0，a₁₀+a₁₁＜0．
∴S_n=an²+bn中其对称轴n=-$\frac{b}{2a}$=10，
又S₁₉=$\frac{19（{a}_{1}+{a}_{19}）}{2}$=19a₁₀＞0，而S₂₀=$\frac{20（{a}_{10}+{a}_{11}）}{2}$＜0，
1与19距离对称轴n=10的距离相等，
∴S₁=S₁₉．
∴使S_n取得最小正数的n=1或n=19．
故选：B．

点评 本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数求最值的方法，是中档题．