Question

16．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，且有S_n=1-a_n（n∈N^*），点（a_n，b_n）在直线y=nx上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n；
（3）试比较T_n和2-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$的大小，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）利用递推式与等比数列的通项公式可得a_n；
（2）由点（a_n，b_n）在直线y=nx上，可得b_n=na_n．b_n=$n•（\frac{1}{2}）^{n}$．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出；
（3）作差比较大小即可得出．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=1-a₁，解得：${a}_{1}=\frac{1}{2}$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1），
化为2a_n=a_n-1，
∴数列{a_n}是以${a}_{1}=\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．
∴${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}$（n∈N^*）．
（2）∵点（a_n，b_n）在直线y=nx上，
∴b_n=na_n．
∴b_n=$n•（\frac{1}{2}）^{n}$．
∴T_n=$\frac{1}{2}+2•（\frac{1}{2}）^{2}+3×（\frac{1}{2}）^{3}$+…+$n•（\frac{1}{2}）^{n}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$（\frac{1}{2}）^{2}$+2$•（\frac{1}{2}）^{3}$+…+（n-1）$•（\frac{1}{2}）^{n}+n•（\frac{1}{2}）^{n+1}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}）^{3}$+…+$（\frac{1}{2}）^{n}$-n$•（\frac{1}{2}）^{n+1}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n$•（\frac{1}{2}）^{n+1}$=$1-\frac{2+n}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=$2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
（3）令B_n=2-$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$，则T_n-B_n=$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}-\frac{n+2}{{2}^{n}}$=$\frac{（n-2）（n+1）}{{2}^{n}}$．
当n=1时，T₁＜B₁；
当n=2时，T₂=B₂；
当n≥3时，T_n＞B_n．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其前n项和公式、“裂项求和”、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．