Question

6．设抛物线y²=4x的焦点为F，P为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF为直径的圆的圆心在直线x+y=2上，则此圆的半径为1．

Answer 1

分析 由抛物线的方程求出焦点坐标，设出P的坐标，利用中点坐标公式求PF的中点，把中点坐标代入直线x+y=2求得P的坐标，再由两点间的距离公式求圆的半径．

解答 解：如图，

由抛物线y²=4x，得其焦点F（1，0），
设P（$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}，{y}_{0}$）（y₀＞0），则PF的中点为（$\frac{\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}+1}{2}，\frac{{y}_{0}}{2}$）=（$\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{8}，\frac{{y}_{0}}{2}$），
由题意可知，点（$\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{8}，\frac{{y}_{0}}{2}$）在直线x+y=2上，
∴$\frac{{{y}_{0}}^{2}+4}{8}+\frac{{y}_{0}}{2}=2$，解得：y₀=2．
∴P（1，2），
则圆的半径为$\frac{1}{2}|PF|=\frac{1}{2}\sqrt{（1-1）^{2}+（2-0）^{2}}=1$．
故答案为：1．

点评 本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识．考查了考生对基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题．