Question

18．已知函数f（x）=ln（x+1）-$\frac{mx}{x+1}$．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在其定义域内的单调性；
（Ⅱ）证明：${（{\frac{2015}{2014}}）^{2015}}$＞e（其中e自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的导数，通过讨论m的范围，从而得到函数的单调性；
（Ⅱ）问题转化为证明ln（1+$\frac{1}{2014}$）-$\frac{1}{2015}$＞0即可，通过函数f（x）的单调性得到f（$\frac{1}{2014}$）＞f（0）即可证明．

解答 解：（Ⅰ）显然函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
且$f'（x）=\frac{1}{x+1}-\frac{m（x+1）-mx}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{x+1-m}{{{{（x+1）}^2}}}$，
所以当m≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在其定义域（-1，+∞）内单调递增，
当m＞0时，x∈（-1，m-1）时，f'（x）＜0，x∈（m-1，+∞），f'（x）＞0，
所以函数f（x）在（-1，m-1）内单调递减，在（m-1，+∞）内单调递增．
（II）因为${（{\frac{2015}{2014}}）^{2015}}＞e?ln（{1+\frac{1}{2014}}）＞\frac{1}{2015}?ln（{1+\frac{1}{2014}}）-\frac{1}{2015}＞0$，
故只需证明此不等式成立即可．
由（I）知，m=1时，$f（x）=ln（x+1）-\frac{x}{x+1}在（0，+∞）$为增函数，
即$f（{\frac{1}{2014}}）=ln（{1+\frac{1}{2014}}）-\frac{1}{2015}＞f（0）=0$．
故$ln（{1+\frac{1}{2014}}）-\frac{1}{2015}＞0$得证，
所以${（{\frac{2015}{2014}}）^{2015}}＞e$．

点评 本题考查了导数的应用，考查不等式的证明问题，考查转化思想，是一道中档题．