Question

9．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e^x-e^-x+lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），a，b都是实数，若p：a+b＜0，q：f（a）+f（b）＜0，则p是q的（　　）

• A． 充分但不必要条件
• B． 必要但不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 根据条件判断函数f（x）的单调性和奇偶性，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为R，
∵f（x）=e^x-e^-x+lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），∴f（x）为增函数，
f（-x）+f（x）=e^-x-e^x+lg（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+e^x-e^-x+lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=lg1=0，
即f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数，
若a+b＜0，则a＜-b，则f（a）＜f（-b），即f（a）＜-f（b），则f（a）+f（b）＜0，
若f（a）+f（b）＜0，则f（a）＜-f（b），
∵函数f（x）是奇函数，∴f（a）＜f（-b），
∵f（x）是增函数，∴a＜-b，即a+b＜0成立，
故p是q的充要条件，
故选：C

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．