Question

19．是否存在二次函数f（x），使得对任意n∈N^*，都有$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+{n}^{2}}{n}$=f（n），若存在，求出f（x），若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 由1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1），可得到f（n）=$\frac{1}{3}$n²+$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{6}$，进而得到答案．

解答 解：由于1²+2²+3²+…+n²=$\frac{1}{6}$n（n+1）（2n+1），
则f（n）=$\frac{1}{6}$（n+1）（2n+1）=$\frac{1}{3}$n²+$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{6}$，
故存在二次函数f（x）=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{6}$，使得对任意n∈N^*，都有$\frac{{1}^{2}+{2}^{2}+{3}^{2}+…+{n}^{2}}{n}$=f（n）．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题．