Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，设方程f（x）=x在区间（0，n]内所有实根的和为S_n，则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和当n→∞时的极限值为2．

Answer 1

分析 画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$的图象，可得方程f（x）=x在区间（0，n]内所有实根分别为：1，2，3，…，n，进而根据等差数列前n项和公式，可得S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），利用裂项相消法可得答案．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$的图象如下图所示：
，
由图可知：方程f（x）=x在区间（0，n]内所有实根分别为：1，2，3，…，n，
∴S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
当n→∞时，数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和的极限值为2，
故答案为：2．

点评 本题考查的知识点是分段函数，数列求和，是函数与数列的综合应用，难度中档．