Question

1．求证：$\frac{1}{2}$+$\frac{1•3}{2•4}$+$\frac{1•3•5}{2•4•6}$+…+$\frac{1•3•5…（2n-1）}{2•4•6…2n}$＜$\sqrt{2n+1}$-1．

Answer 1

分析 先由放缩法证明$\frac{1•3•5…（2n-1）}{2•4•6…2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$，然后利用数学归纳法证明$\frac{1}{2}$+$\frac{1•3}{2•4}$+$\frac{1•3•5}{2•4•6}$+…+$\frac{1•3•5…（2n-1）}{2•4•6…2n}$＜$\sqrt{2n+1}$-1得答案．

解答 证明：∵$（\frac{1•3•5…（2n-1）}{2•4•6…2n}）^{2}$$＜\frac{1}{2}•\frac{2}{3}•\frac{3}{4}•\frac{4}{5}…\frac{2n-1}{2n}•\frac{2n}{2n+1}$=$\frac{1}{2n+1}$．
∴$\frac{1•3•5…（2n-1）}{2•4•6…2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$．
则$\frac{1}{2}$+$\frac{1•3}{2•4}$+$\frac{1•3•5}{2•4•6}$+…+$\frac{1•3•5…（2n-1）}{2•4•6…2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+…+\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$．
要证$\frac{1}{2}$+$\frac{1•3}{2•4}$+$\frac{1•3•5}{2•4•6}$+…+$\frac{1•3•5…（2n-1）}{2•4•6…2n}$＜$\sqrt{2n+1}$-1，
只需证：$\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+…+\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$＜$\sqrt{2n+1}$-1，
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，右边=$\sqrt{3}-1$，
∵$\sqrt{3}＜2=3-1$，∴$\frac{1}{\sqrt{3}}＜\sqrt{3}-1$，不等式成立；
②假设n=k时不等式成立，即$\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+…+\frac{1}{\sqrt{2k+1}}＜\sqrt{2k+1}-1$，
那么，当n=k+1时，$\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+…+\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$$+\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$＜$\sqrt{2k+1}-1+\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$=$\frac{\sqrt{（2k+1）（2k+3）}-\sqrt{2k+3}+1}{\sqrt{2k+3}}$．
要证$\frac{\sqrt{（2k+1）（2k+3）}-\sqrt{2k+3}+1}{\sqrt{2k+3}}$$＜\sqrt{2k+3}-1$，
只需证：$\sqrt{（2k+1）（2k+3）}-\sqrt{2k+3}+1＜\sqrt{（2k+3）^{2}}-\sqrt{2k+3}$，
即证：$\sqrt{（2k+1）（2k+3）}＜2k+2$，
也就是证：3＜4，此时显然成立．
∴当n=k+1时不等式成立．
综上，$\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+…+\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$＜$\sqrt{2n+1}$-1，
∴$\frac{1}{2}$+$\frac{1•3}{2•4}$+$\frac{1•3•5}{2•4•6}$+…+$\frac{1•3•5…（2n-1）}{2•4•6…2n}$＜$\sqrt{2n+1}$-1．

点评 本题考查了数学归纳法证明数列不等式，利用数学归纳法证明数列不等式时，中间可穿插比较法、分析法和反证法等思想方法，是中档题．