Question

2．设函数f（x）=p（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，g（x）=$\frac{2e}{x}$（p是实数，e是自然对数的底数）
（1）若对任意x∈[2，e]，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求p的取值范围；
（2）若存在x₀∈[2，e]，使不等式f（x₀）＞g（x₀）成立，求p的取值范围；
（3）若p＞1，且对任意x₁∈[2，e]，x₂∈[2，e]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）恒成立，求p的取值范围；
（4）若p＞1，且存在x₁∈[2，e]，x₂∈[2，e]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，求p的取值范围；
（5）若p＞1，且对任意x₁∈[2，e]，存在x₂∈[2，e]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，求p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用参数分离，可得p＞$\frac{2xlnx+2e}{{x}^{2}-1}$对x∈[2，e]恒成立．令h（x）=$\frac{2xlnx+2e}{{x}^{2}-1}$，x∈[2，e]，运用导数，判断单调性，求得最大值即可；
（2）运用参数分离，求得右边函数的最小值即可；
（3）依题意[f（x）]_min＞[g（x）]_max，通过单调性分别求得两函数的最小值和最大值即可；
（4）依题意[f（x）]_max＞[g（x）]_min，通过单调性分别求得两函数的最大值和最小值即可；
（5）依题意[f（x）]_min＞[g（x）]_min，通过单调性分别求得两函数的最小值即可．

解答 解：（1）由已知不等式f（x）-g（x）=p（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx-$\frac{2e}{x}$＞0对x∈[2，e]恒成立，
∴p＞$\frac{2xlnx+2e}{{x}^{2}-1}$对x∈[2，e]恒成立．
令h（x）=$\frac{2xlnx+2e}{{x}^{2}-1}$，x∈[2，e]，则p＞[h（x）]_max．
∵h′（x）=$\frac{-2（1+{x}^{2}）lnx-2x（2e-x）-2}{（{x}^{2}-1）^{2}}$＜0．
∴h（x）在区间[2，e]上是减函数，
∴[h（x）]_max=h（2）=$\frac{4ln2+2e}{3}$，
故p＞$\frac{4ln2+2e}{3}$；
（2）由于存在x₀∈[2，e]，使不等式f（x₀）＞g（x₀）成立，
由（1）可得，p＞$\frac{2xlnx+2e}{{x}^{2}-1}$对x∈[2，e]成立．
令h（x）=$\frac{2xlnx+2e}{{x}^{2}-1}$，x∈[2，e]，则p＞[h（x）]_min．
由（1）可得h（x）在区间[2，e]上是减函数，
∴[h（x）]_min=h（e）=$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$，
故p＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$；
（3）依题意[f（x）]_min＞[g（x）]_max，
∵f′（x）=p+$\frac{p}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$＞0，∴f（x）在[2，e]单调递增．
又g（x）=$\frac{2e}{x}$在[2，e]单调递减，
故f（2）＞g（2），即$\frac{3}{2}$p-2ln2＞e，
解得p＞$\frac{4ln2+2e}{3}$；
（4）依题意[f（x）]_max＞[g（x）]_min，
∵f′（x）=p+$\frac{p}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$＞0，∴f（x）在[2，e]单调递增．
又g（x）=$\frac{2e}{x}$在[2，e]单调递减，
故f（e）＞g（e），即p（e-$\frac{1}{e}$）-2＞2
解得p＞$\frac{4e}{{e}^{2}-1}$；
（5）依题意[f（x）]_min＞[g（x）]_min，
∵f′（x）=p+$\frac{p}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$＞0，∴f（x）在[2，e]单调递增．
又g（x）=$\frac{2e}{x}$在[2，e]单调递减，
故f（2）＞g（e），即$\frac{3}{2}$p-2ln2＞2，
解得p＞$\frac{4+4ln2}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，主要考查不等式恒成立和成立时参数的取值问题，属于中档题和易错题．