Question

14．已知点A_n（x_n，y_n），B_n（s_n，t_n）（n∈N^*）是抛物线x²=4y上不同的两点，设抛物线在点A_n，B_n，处的两条切线相互垂直，垂足为点C_n；
（1）求x_ns_n的值；
（2）设F为抛物线x²=4y的焦点，若x_n=2ⁿ，当n≥2时，求证：$\sum_{k=1}^{n}$|FC_k|≥$\frac{{n}^{2}+n+3}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先设直线A_nB_n的方程为y-1=k_nx，然后与抛物线方程x²=4y联立消去y得到x²-4k_nx-4=0，再由根与系数的关系可得到x_ns_n=-4，从而得证．
（Ⅱ）先根据导数求出抛物线x²=4y在A_n处的切线的斜率，进而可得到抛物线在A_n处的切线的方程，同理可得到x²=4y在B_n处的切线方程，然后两切线方程相减整理可得到交点C_n的坐标，然后结合两点间的距离公式可得到：|FC_k|=|$\frac{{x}_{n}}{2}$|+|$\frac{2}{{x}_{n}}$|．又由于x_n=2ⁿ可得到|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=$\frac{1}{2}$（|x₁|+|x₂|+…+|x_n|）+2（$\frac{1}{|{x}_{1}|}$+$\frac{1}{|{x}_{2}|}$+…+$\frac{1}{|{x}_{n}|}$），最后根据等比数列的前n项和公式可得到最后答案．

解答 解：（1）对任意固定的n≥1，因为焦点F（0，1），
所以可设直线A_nB_n的方程为y-1=k_nx，
将它与抛物线方程x²=4y联立得：x²-4k_nx-4=0，
由一元二次方程根与系数的关系得x_ns_n=-4（n≥1）．
（2）对任意固定的n≥1，
利用导数知识易得抛物线x²=4y在A_n处的切线的斜率$\frac{{x}_{n}}{2}$，
故x²=4y在A_n处的切线的方程为：y-y_n=$\frac{{x}_{n}}{2}$（x-x_n），①
类似地，可求得x²=4y在B_n处的切线的方程为：y-t_n=$\frac{{s}_{n}}{2}$（x-s_n），②
由②-①得：y_n-t_n=-（$\frac{{x}_{n}}{2}$-$\frac{{s}_{n}}{2}$）x+$\frac{{{x}_{n}}^{2}-{{s}_{n}}^{2}}{2}$=$\frac{{{x}_{n}}^{2}-{{s}_{n}}^{2}}{4}$，
∴x=$\frac{{x}_{n}+{s}_{n}}{2}$③
将 ③代入 ①并注意x_ns_n=-4得交点C_n的坐标为（$\frac{{x}_{n}+{s}_{n}}{2}$，-1）．
由两点间的距离公式得：|FC_k|=|$\frac{{x}_{n}}{2}$|+|$\frac{2}{{x}_{n}}$|．
现在x_n=2ⁿ，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：
|FC₁|+|FC₂|+…+|FC_n|=$\frac{1}{2}$（|x₁|+|x₂|+…+|x_n|）+2（$\frac{1}{|{x}_{1}|}$+$\frac{1}{|{x}_{2}|}$+…+$\frac{1}{|{x}_{n}|}$）
=$\frac{1}{2}$（2+2²+…+2ⁿ）+2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=（2ⁿ-1）+（2-2^1-n）
=2ⁿ-2^1-n+1≥${C}_{n}^{1}+{C}_{n}^{2}+1-\frac{1}{2}+1$=$\frac{{n}^{2}+n+3}{2}$．

点评 本题主要考查直线与抛物线的综合问题和等比数列的前n项和公式．考查基础知识的综合运用和计算能力．圆锥曲线、直线以及数列是高考必考题，要给予重视．