Question

6．已知△ABC对应的边为a，b，c，若（a-ccosB）•sinB=（b-c•cosA）•sinA．判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 先通过正弦定理把a，b，c的表达式代入（a-ccosB）sinB=（b-ccosA）sinA中，化简整理，进而可推断三角形是等腰或直角三角形．

解答 解：∵（a-ccosB）sinB=（b-ccosA）sinA，由正弦定理得（a-ccosB）b=（b-ccosA）a，
∴0=asinB-bsinA，
∵由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴a=sinA×2R，b=sinB×2R，c=sinC×2R，
代入原式，消去2R得：
cosBsinB-cosAsinA=0，
∴sin2B-sin2A=0，
所以2B=2A（等腰三角形）或者2B+2A=180°（直角三角形），
∴三角形是等腰或直角三角形．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦，利用三角函数的关系来解决问题，属于中档题．