Question

17．已知a＞0，函数f（x）=lnx-ax．
（1）设曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为L，若L与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值．
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）在（0，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，求得切线方程，再由直线和圆相切的条件：d=r，可得a=1；
（2）令导数大于0，得增区间，令导数小于0，的减区间，注意定义域；
（3）对a讨论，①当0＜a≤1时，②当a＞1时，通过函数的单调性和极值，即可求得所求区间上的最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx-ax的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=1-a，
切点为（1，-a），
则切线方程为y=（1-a）x-1，
由l与圆（x+1）²+y²=1相切，则$\frac{|a-2|}{\sqrt{1+（1-a）^{2}}}$=1，
解得a=1；
（2）由a＞0，令f′（x）=$\frac{1}{x}$-a＞0，可得0＜x＜$\frac{1}{a}$；
令f′（x）=$\frac{1}{x}$-a＜0，可得x＞$\frac{1}{a}$．
则f（x）的增区间为（0，$\frac{1}{a}$），减区间为（$\frac{1}{a}$，+∞）；
（3）①当0＜a≤1时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a≥0在（0，1]恒成立，
即f（x）在（0，1]递增，f（x）的最大值为f（1），即为-a；
②当a＞1时，即$\frac{1}{a}$＜1时，
由f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，1]递减，可得f（$\frac{1}{a}$）取得最大，
且为-lna-1．
综上可得，当0＜a≤1时，f（x）的最大值为-a；
当a＞1时，f（x）的最大值为-lna-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义和求最值的方法，同时考查直线和圆相切的条件，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．