Question

12．已知数列{a_n}是首项为2的等差数列，其前n项和S_n满足4S_n=a_n•a_n+1．数列{b_n}是以$\frac{1}{2}$为首项的等比数列，且b₁b₂b₃=$\frac{1}{64}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，若对任意n∈N^*不等式$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}≥\frac{1}{4}λ-\frac{1}{2}{T_n}$恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”可得$\frac{1}{{S}_{1}}+\frac{1}{{S}_{2}}+…+\frac{1}{{S}_{n}}$，利用等比数列的前n项和公式可得T_n，利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意得，?4a₁=a₁（a₁+d），解得d=2，
∴a_n=2n，
由${b_1}{b_2}{b_3}=b_2^3=\frac{1}{64}⇒{b_2}=\frac{1}{4}$，
从而公比$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{1}{2}$，
∴${b_n}={（\frac{1}{2}）^n}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}$，
又${T_n}=\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2^n}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=1-\frac{1}{2^n}$，
∴对任意n∈N*，$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+…+\frac{1}{S_n}≥\frac{1}{4}λ-\frac{1}{2}{T_n}$等价于$\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}≥\frac{1}{4}λ$，
∵$\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$对n∈N*递增，
∴${（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}）_{min}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{3}{4}≥\frac{1}{4}λ⇒λ≤3$．即λ的取值范围为（-∞，3]．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．