Question

3．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点垂直于双曲线实轴的直线交双曲线于P，Q两点，我们称线段PQ为双曲线的通径，若双曲线通径长是焦距的两倍，则此双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\sqrt{5}+1$
• C． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• D． $\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 求出PQ的长，利用线段PQ的长度是焦距的两倍，可得$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，从而可求双曲线的离心率．

解答 解：不妨设P（c，y₀），代入双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得y₀=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．
∵线段PQ的长度是焦距的两倍，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c，
∴c²-a²=2ac，
∴e²-2e-1=0，
∵e＞1，
∴e=1+$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．