Question

8．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx-$\frac{1}{2}$（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π，将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得函数g（x），设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c
（Ⅰ）若g（B）+g（-B）=-$\frac{3}{2}$，B$∈（0，\frac{π}{2}）$，求B；
（Ⅱ）若c=$\sqrt{7}$，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）的解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式．再根据g（B）+g（-B）=0，求得cos2B的值，可得B的值．
（Ⅱ）由f（C）=0求得C的值，由sinB=3sinA利用正弦定理可得b=3a，再由条件利用余弦定理求得a，b的值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx-1=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-1．
∵图象上相邻两个最高点的距离为π，可得最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=π，求得ω=1，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．
将函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得函数g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]-1=sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
由于g（B）+g（-B）=sin（2B+$\frac{π}{6}$）-1+sin（-2B+$\frac{π}{6}$）-1=sin2Bcos$\frac{π}{6}$+cos2Bsin$\frac{π}{6}$-sin2Bcos$\frac{π}{6}$+cos2Bsin$\frac{π}{6}$-2=-$\frac{3}{2}$，
求得cos2B=$\frac{1}{2}$，结合B$∈（0，\frac{π}{2}）$，可得2B=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{6}$．
（Ⅱ）∵c=$\sqrt{7}$，f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
∵sinB=3sinA，∴b=3a，由余弦定理可得c²=7=a²+（3a）²-2a•3a•cos$\frac{π}{3}$，
求得a=1，∴b=3．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，两角和差的正弦公式，正弦定理和余弦定理，正弦函数的图象，属于中档题．