Question

16．已知函数f（x）=x²-|ax+1|，a∈R．
（Ⅰ）若a=-2，且存在互不相同的实数x₁，x₂，x₃，x₄满足f（x_i）=m（i=1，2，3，4），求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=-2的f（x）解析式，画出f（x）的图象，要使得有四个不相等的实数根满足f（x）=m，即函数y=m与y=f（x）的图象有四个不同的交点，观察图象可得；
（Ⅱ）对a讨论，（1）若a=0，（2）若a＞0，（3）若a＜0，运用二次函数的图象，讨论对称轴和区间的关系，根据单调性即可求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）若a=-2，则f（x）=x²-|-2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-1，x≤\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}-2x+1，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
当x$≤\frac{1}{2}$时，f（x）_min=f（-1）=-2；当x$＞\frac{1}{2}$时，f（x）_min=f（1）=0，
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，此时，f（x）的图象如图所示．
要使得有四个不相等的实数根满足f（x）=m，
即函数y=m与y=f（x）的图象有四个不同的交点，
因此m的取值范围为（0，$\frac{1}{4}$）；
（Ⅱ）（1）若a=0，则f（x）=x²-1，在[1，2]上单调递增，满足条件；
（2）若a＞0，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-1，x≥-\frac{1}{a}}\\{{x}^{2}+ax+1，x＜-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，只需考虑x$≥-\frac{1}{a}$的情况．
此时f（x）的对称轴为x=$\frac{a}{2}$，因此，只需$\frac{a}{2}$≤1，即0＜a≤2，
（3）若a＜0，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-1，x≤-\frac{1}{a}}\\{{x}^{2}+ax+1，x＞-\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，
结合函数图象，有以下情况：
当-$\frac{a}{2}$≤$-\frac{1′}{a}$，即-$\sqrt{2}$≤a＜0时，此时f（x）在[$\frac{a}{2}，+∞$）内单调递增，
因此在[1，2]内也单调递增，满足条件；
当-$\frac{a}{2}$＞-$\frac{1}{a}$，即a＜-$\sqrt{2}$时，f（x）在[$\frac{a}{2}$，-$\frac{1}{a}$]和[-$\frac{a}{2}，+∞$）内均单调递增，
如图所示，只需-$\frac{1}{a}$≥2或-$\frac{a}{2}$≤1，解得：-2≤a＜-$\sqrt{2}$；
即有a的取值范围为-2≤a＜0，
由（1）、（2）、（3）得，实数a的取值范围为-2≤a≤2．

点评 本题考查分段函数的图象和应用，主要考查二次函数的图象和性质，注意对称轴和区间的关系，运用数形结合和分类讨论的思想方法是解题的关键．