Question

4．已知命题p：?x∈R，ax²+ax+1＞0；命题q：?x∈R，x²-x+a=0．若p∧q是真命题，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，4）
• B． [0，4）
• C． （0，$\frac{1}{4}$]
• D． [0，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 若命题p是真命题：利用一元二次不等式与判别式的关系及其a=0的情况即可得出；若命题q是真命题：利用一元二次方程与判别式的关系即可得出；再利用复合命题的真假判定方法即可得出．

解答 解：若命题p是真命题：?x∈R，ax²+ax+1＞0，则a=0或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得0≤a＜4；
若命题q是真命题：?x∈R，x²-x+a=0，则△=1-4a≥0，解得$a≤\frac{1}{4}$．
若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，
则$\left\{\begin{array}{l}{0≤a＜4}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，解得$0≤a≤\frac{1}{4}$．
则a的取值范围是$[0，\frac{1}{4}]$．
故选：D．

点评 本题考查了一元二次不等式及其方程与判别式的关系、复合命题真假的判定方法，考查了计算能力，属于基础题．