Question

15．已知cos（2α-β）=-$\frac{11}{14}$，sin（α-2β）=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，且$\frac{π}{4}$$＜α＜\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 由条件根据角的范围、利用同角三角函数的基本关系求得sin（2α-β）和cos（α-2β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（α+β）=cos[（2α-β）-（α-2β）]的值．

解答 解：∵$\frac{π}{4}$$＜α＜\frac{π}{2}$，0＜β＜$\frac{π}{4}$，∴2α-β∈（$\frac{π}{4}$，π），α-2β∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）．
结合cos（2α-β）=-$\frac{11}{14}$，sin（α-2β）=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，可得sin（2α-β）=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，cos（α-2β）=$\frac{1}{7}$，
cos（α+β）=cos[（2α-β）-（α-2β）]
=cos（2α-β）cos（α-2β）+sin（α-2β）sin（2α-β）
=-$\frac{11}{14}$•$\frac{1}{7}$+$\frac{4\sqrt{3}}{7}$•$\frac{5\sqrt{3}}{14}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，注意角的变换，属于中档题．