Question

7．函数f（x）=x³-ax²+bx．
（1）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x-y=0，求a，b的值；
（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，在x=2处切线斜率的取值范围为（3，5），若存在x∈[4，6]，使得f（x）≤32成立，求参数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线方程，可得a，b的方程，即可解得a，b；
（2）由题意可得f′（1）=0，f′（2）=12-4a+b∈（3，5），可得2＜a＜3，再由导数判断区间[4，6]为增区间，可得f（4）不大于32，解不等式即可得到a的范围．

解答 解：（1）f（x）=x³-ax²+bx，即有f′（x）=3x²-2ax+b，
则f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=3-2a+b，
由切线方程y=2x，
可得3-2a+b=2，1-a+b=2，
解得a=2，b=3；
（2）由于函数f（x）在x=1处取得极值，
则f′（1）=3-2a+b=0，
在x=2处切线斜率k=f′（2）=12-4a+b∈（3，5），
即3＜12-4a+2a-3＜5，
解得2＜a＜3，
即有f′（x）=[3x-（2a-3）]（x-1）
令f′（x）=0，则x=1和x=$\frac{2a-3}{3}$∈（$\frac{1}{3}$，1）
在区间[4，6]上f'（x）＞0，f（x）单调递增，
则f（4）=64-16a+4b≤32，
即-16a+4（2a-3）≤-32，
解得a≥$\frac{5}{2}$．
综上所述，$\frac{5}{2}$≤a＜3．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和不等式成立的思想方法，注意运用函数的单调性是解题的关键．