Question

5£®ÒÑÖªÊýÁÐ{a_n}ÊǵȲîÊýÁУ¬ÊýÁÐ{b_n}ÊǵȱÈÊýÁУ¬a₁b₁=3£¬ÇÒ¶ÔÈÎÒâµÄn¡ÊN⁺£¬¶¼ÓÐa₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+¡­+a_nb_n=$\frac{£¨2n-1£©{3}^{n+1}+3}{4}$£®
£¨¢ñ£©ÇóÊýÁÐ{a_nb_n}µÄͨÏʽ£»
£¨¢ò£©ÈôÊýÁÐ{b_n}µÄÊ×ÏîΪ3£¬¹«±ÈΪ3£¬Éèc_n=b_n+£¨-1£©^n-1¦Ë•2^a_n+1£¬ÇÒ¶ÔÈÎÒâµÄn¡ÊN⁺£¬¶¼ÓÐc_n+1£¾c_n³ÉÁ¢£¬ÇóʵÊý¦ËµÄÈ¡Öµ·¶Î§£®

Answer 1

·ÖÎö £¨I£©ÀûÓõÝÍÆʽ¿ÉµÃa_nb_n£»
£¨II£©ÊýÁÐ{b_n}µÄÊ×ÏîΪ3£¬¹«±ÈΪ3£¬¿ÉµÃb_n£®ÓÖa_nb_n=n•3ⁿ£¨n¡ÊN^*£©£®k¿ÉµÃa_n£¬¿ÉµÃc_n=3ⁿ+£¨-1£©^n-1¦Ë•2ⁿ⁺¹£¬ÓÉÓÚ¶ÔÈÎÒâµÄn¡ÊN⁺£¬¶¼ÓÐc_n+1£¾c_n³ÉÁ¢£¬»¯¼òµÃ£¨-1£©^n-1•¦Ë$£¼\frac{1}{3}•£¨\frac{3}{2}£©^{n}$£¬¶Ôn·ÖÀàÌÖÂÛ¼´¿ÉµÃ³ö£®

½â´ð ½â£º£¨¢ñ£©¡ß¶ÔÈÎÒâµÄn¡ÊN⁺£¬¶¼ÓÐa₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+¡­+a_nb_n=$\frac{£¨2n-1£©{3}^{n+1}+3}{4}$£®
¡àµ±n¡Ý2ʱ£¬a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+¡­+a_n-1b_n-1=$\frac{£¨2n-3£©{3}^{n}+3}{4}$£®
Á½Ê½Ïà¼õ£¬µÃa_nb_n=n•3ⁿ£¨n¡Ý2£©£¬
ÓÖµ±n=1ʱ£¬a₁b₁=3£¬ÊʺÏÉÏʽ£¬
´Ó¶øµÃa_nb_n=n•3ⁿ£¨n¡ÊN^*£©£®
£¨¢ò£©¡ßÊýÁÐ{b_n}µÄÊ×ÏîΪ3£¬¹«±ÈΪ3£¬
¡à${b}_{n}={3}^{n}$£®
ÓÖa_nb_n=n•3ⁿ£¨n¡ÊN^*£©£®
Òò´Ëa_n=n£¬
¡àc_n=b_n+£¨-1£©^n-1¦Ë•2^a_n+1=3ⁿ+£¨-1£©^n-1¦Ë•2ⁿ⁺¹£¬
¡ß¶ÔÈÎÒâµÄn¡ÊN⁺£¬¶¼ÓÐc_n+1£¾c_n³ÉÁ¢£¬
¡à3ⁿ⁺¹+£¨-1£©ⁿ•2ⁿ⁺²£¾3ⁿ+£¨-1£©^n-1¦Ë•2ⁿ⁺¹£¬
»¯¼òµÃ£¨-1£©^n-1•¦Ë$£¼\frac{1}{3}•£¨\frac{3}{2}£©^{n}$£¬
µ±nΪÆæÊýʱ£¬¦Ë$£¼\frac{1}{3}•£¨\frac{3}{2}£©^{n}$ºã³ÉÁ¢£¬¡à$¦Ë£¾\frac{1}{3}•£¨\frac{3}{2}£©^{1}$£¬¼´$¦Ë£¼\frac{1}{2}$£¬
µ±nΪżÊýʱ£¬$¦Ë£¾£¨-\frac{1}{3}£©•£¨\frac{3}{2}£©^{n}$ºã³ÉÁ¢£¬
¡à$¦Ë£¾£¨-\frac{1}{3}£©•£¨\frac{3}{2}£©^{2}$=-$\frac{3}{4}$£¬¼´$¦Ë£¾-\frac{3}{4}$£¬
×ۺϿɵ㺦ˡÊ$£¨-\frac{3}{4}£¬\frac{1}{2}£©$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÁ˵ÝÍÆʽµÄÓ¦ÓᢵȱÈÊýÁеÄͨÏʽ¡¢ÊýÁеĵ¥µ÷ÐÔ£¬¿¼²éÁ˱äÐÎÄÜÁ¦Óë·ÖÀàÌÖÂÛ˼Ïë·½·¨£¬¿¼²éÁËÍÆÀíÄÜÁ¦Óë¼ÆËãÄÜÁ¦£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮