Question

10．已知函数f（x）=e^x-ax有且只有一个零点，则实数a的取值范围为（-∞，0）∪{e}．

Answer 1

分析 函数f（x）=e^x-ax有且只有一个零点可转化为函数y=e^x与y=ax的图象有且只有一个交点；作函数图象可知，分相切与不相切讨论即可．

解答 解：∵函数f（x）=e^x-ax有且只有一个零点，
∴函数y=e^x与y=ax的图象有且只有一个交点，
作函数y=e^x与y=ax的图象如下，

结合图象知，当a＜0时成立，
当a＞0时，相切时成立，
故（e^x）′=e^x=$\frac{{e}^{x}-0}{x-0}$；
故x=1；
故a=e；
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0）∪{e}．
故答案为：（-∞，0）∪{e}．

点评 本题考查了学生作图与用图的能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．