Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-2（x≥0）}\\{-1-\frac{1}{2}{x}^{2（x＜0）}}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）-mx=0恰有3个不同的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\sqrt{2}$）
• B． （$\sqrt{2}$，+∞）
• C． （0，$\sqrt{2}$）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 画出分段函数y=f（x）的图象和直线y=mx，关于x的方程f（x）-mx=0恰有3个不同的实数根，即为y=f（x）和直线y=mx有三个不同的交点．求出直线和y=f（x）（x＜0）的图象相切时的m的值，再由直线绕着原点旋转，观察即可得到．

解答 解：画出分段函数y=f（x）的图象和直线y=mx，
关于x的方程f（x）-mx=0恰有3个不同的实数根，
即为y=f（x）和直线y=mx有三个不同的交点．
当直线与y=f（x）（x＜0）的图象相切时，
直线与y=f（x）（x∈R）恰有两个交点．
联立y=mx和y=-1-$\frac{1}{2}$x²（x＜0），可得$\frac{1}{2}$x²+mx+1=0，
由判别式m²-2=0，可得m=$\sqrt{2}$（-$\sqrt{2}$舍去），
通过图象观察，当直线的斜率大于$\sqrt{2}$时，
直线与y=f（x）（x∈R）都有三个交点．
则实数m的取值范围为（$\sqrt{2}$，+∞）．
故选B．

点评 本题考查分段函数的运用：求参数的范围，主要考查数形结合的思想方法，同时考查直线和曲线相切的条件：判别式为0，属于中档题．