Question

7．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点都在表面积为16π的球面上，且AB=$\sqrt{3}$AD，AA₁=2AD，则四棱锥D₁-ABCD的体积为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{4\sqrt{6}}{3}$
• C． 2$\sqrt{6}$
• D． 4$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 设AD=x，长方体的外接球的半为R，利用$A{D}^{2}+A{B}^{2}+A{A}_{1}^{2}$=（2R²），4πR²=16π，解出x，R，再利用四棱锥的体积计算公式即可得出．

解答 解：设AD=x，长方体的外接球的半为R，
则$A{D}^{2}+A{B}^{2}+A{A}_{1}^{2}$=（2R²），4πR²=16π，
∴${x}^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}$+（2x）²=4R²，R²=4．
化为8x²=16，
解得x=$\sqrt{2}$，
∴四棱锥D₁-ABCD的体积V=$\frac{1}{3}A{A}_{1}•{S}_{ABCD}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}{x}^{2}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、长方体的对角线与外接球的直径直径的关系、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．