Question

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，以F为圆心的圆与双曲线的两条渐近线分别相切于A、B两点，且|AB|=$\sqrt{3}$b，则该双曲线的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出A的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），根据以F为圆心的圆与双曲线的两条渐近线分别相切于A、B两点，由射影定理可得（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$×（c-$\frac{\sqrt{3}}{2}a$），即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，A的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），
∵以F为圆心的圆与双曲线的两条渐近线分别相切于A、B两点，
∴由射影定理可得（$\frac{\sqrt{3}}{2}$b）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$×（c-$\frac{\sqrt{3}}{2}a$），
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．