Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n
（1）若S_n=（-1）ⁿ⁺¹•n，求a₅+a₆及a_n；
（2）若S_n=3ⁿ+2n+1，求a_n．

Answer 1

分析 （1）由a₅+a₆=S₆-S₄代入公式即可求得，再由a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{s}_{n}，n=1}\\{{s}_{n}-{s}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求a_n即可；
（2）由a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{s}_{n}，n=1}\\{{s}_{n}-{s}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求a_n即可．

解答 解：（1）a₅+a₆=S₆-S₄
=（-1）⁶⁺¹•6-（-1）⁴⁺¹•4
=-6+4=-2；
当n=1时，a₁=S₁=（-1）¹⁺¹•1=1，
当≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿ⁺¹•n-（-1）ⁿ•（n-1）
=（-1）ⁿ•（-n-n+1）
=（-1）ⁿ•（-2n+1）；
a₁=1也满足a_n=（-1）ⁿ•（-2n+1）；
故a_n=（-1）ⁿ•（-2n+1）；
（2）当n=1时，a₁=S₁=3¹+2+1=6，
当≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+2n+1-（3^n-1+2（n-1）+1）
=2•3^n-1+2；
a₁=6不满足a_n=2•3^n-1+2；
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，n=1}\\{2•{3}^{n-1}+2，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了前n项和与通项公式的关系应用，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．