Question

2．已知动点Q与两定点（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0）连线的斜率的乘积为-$\frac{1}{2}$，点Q形成的轨迹为M．
（Ⅰ）求轨迹M的方程；
（Ⅱ）过点P（-2，0）的直线l交M于A、B两点，且$\overrightarrow{PB}$=3$\overrightarrow{PA}$，平行于AB的直线与M位于x轴上方的部分交于C、D两点，过C、D两点分别作CE、DF垂直x轴于E、F两点，求四边形CEFD面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出Q的坐标，利用动点Q与两定点（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0）连线的斜率的乘积为-$\frac{1}{2}$，建立方程，化简可求轨迹M的方程；
（Ⅱ）设直线方程为x=my+n，代入椭圆方程，求出四边形CEFD面积，利用基本不等式求最大值．

解答 解：（Ⅰ）设动点Q的坐标是（x，y），由题意得$\frac{y}{x+\sqrt{2}}•\frac{y}{x-\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$（x$≠±\sqrt{2}$），
化简，整理得$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$
故Q点的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$（x$≠±\sqrt{2}$）；
（Ⅱ）设直线方程为x=my+n，代入椭圆方程可得（m²+2）y²+2mny+n²-2=0，
△=8（m²-n²+2）
设直线l与曲线M的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
y₁+y₂=-$\frac{2mn}{{m}^{2}+2}$①，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-2}{{m}^{2}+2}$②，
∵$\overrightarrow{PB}$=3$\overrightarrow{PA}$，∴y₂=3y₁，③
n=-2时，由①②③可得m=±2，满足△＞0．
不妨取m=2，则y₁+y₂=-$\frac{2}{3}$n，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-2}{6}$，
由已知及△＞0，可得2＜n²＜6，
∵|x₁-x₂|=2|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{12-2{n}^{2}}}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|y₁+y₂||x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$$\sqrt{{n}^{2}（6-{n}^{2}）}$≤$\frac{2\sqrt{2}}{9}×\frac{6}{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
当且仅当n²=3时等号成立，
∴四边形CEFD面积的最大值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查四边形CEFD面积的最大值，基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．