Question

13．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所有棱长均为2，若点A₁在底面ABC的射影O落在AB的中点M上．
（1）在线段A₁C₁上找到一点N，使得MN∥面B₁C₁CB，求A₁N的长度；
（2）求四棱锥体积V_A-BB1C1C．

Answer 1

分析 （1）取A₁C₁中点N，B₁C₁的中点E，连结BE，EN，由三角形中位线定理可得EN∥A₁B₁，结合三棱柱的性质可得A₁B₁∥BM，再由边长相等可得四边形ENBM为平行四边形，由此证得MN∥面B₁C₁CB，此时A₁N=1；
（2）求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，再求出三棱锥A-A₁B₁C₁的体积，则由${V_{A-B{B_1}{C_1}C}}$=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$$-{V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$ 得答案．

解答 解：（1）取A₁C₁中点N，则A₁N=1，
取B₁C₁的中点为E，连结BE，EN则EN∥A₁B₁，
又A₁B₁∥BM，∴EN∥BM，且$EN=\frac{1}{2}{A}_{1}{B}_{1}=BM$，
∴四边形ENBM为平行四边形，
∴有MN∥BE，即MN∥面B₁C₁CB，此时A₁N=1；
（2）∵${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$，${A}_{1}M=\sqrt{3}$，
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=${S}_{△ABC}•{A}_{1}M=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，
${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}•{A}_{1}M$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}=1$，
∴${V_{A-B{B_1}{C_1}C}}$=${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$$-{V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=3-1=2．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．