Question

5．函数y=sin（2ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象与x轴交点的横坐标为A，B，已知|A-B|的最小值是$\frac{π}{3}$，图象过点（$\frac{π}{4}$，1）．
（1）求ω和φ；
（2）该函数图象是由y=sinx的图象怎样变换得到的？
（3）若函数f（x）满足f（x）=a（0＜a＜1），求在[0，2π]内的所有实数根之和．

Answer 1

分析 （1）据|A-B|的最小值是$\frac{π}{3}$，由周期公式可解得ω，利用图象过点（$\frac{π}{4}$，1）即可求出φ．
（2）函数y=sinx的图象经过左右平移，然后是横坐标变伸缩变换，纵坐标不变，可得到y=f（x）的图象，确定函数解析式．
（3）确定函数在[0，2π]内的周期的个数，利用f（x）=a（0＜a＜1）与函数的对称轴的关系，求出所有实数根之和．

解答 解：（1）∵|A-B|的最小值是$\frac{π}{3}$，
∴由周期公式可得：T=2×$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{2ω}$，可解得ω=$\frac{3}{2}$，
∵图象过点（$\frac{π}{4}$，1）．
∴1=sin（3×$\frac{π}{4}$+φ），解得：3×$\frac{π}{4}$+φ=2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$-\frac{π}{4}$．
（2）由（1）可得函数解析式为：y=sin（3x-$\frac{π}{4}$），将函数y=sinx的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位得到y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的图象，纵坐标不变，横坐标缩小到原来的$\frac{1}{3}$倍得到函数y=sin（3x-$\frac{π}{4}$）的图象．
（3）（3）∵f（x）=sin（3x-$\frac{π}{4}$）的周期为$\frac{2}{3}$π，
∴y=sin（3x-$\frac{π}{4}$）在[0，2π]内恰有3个周期，
∴sin（3x-$\frac{π}{4}$）=a（0＜a＜1）在[0，2π]内有6个实根且x1+x2=$\frac{π}{2}$，
同理，x3+x4=$\frac{11}{6}$π，x5+x6=$\frac{19}{6}$π，
故所有实数之和为$\frac{π}{2}$+$\frac{11π}{6}$+$\frac{19π}{6}$=$\frac{11π}{2}$．

点评 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象，考查数形结合的思想，考查计算能力，是中档题．