Question

20．设a、b、c分别表示△ABC内角A、B、C的对边，若ac=b²-a²，$∠A=\frac{π}{6}$，则∠B=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由余弦定理得a²-b²=c²-2bccosA，将已知条件代入，化简可得$\sqrt{3}$b-c=a．再由正弦定理，可得$\sqrt{3}$sinB-sinC=sin$\frac{π}{6}$．再结合sinC=sin（$\frac{5π}{6}$-B）=$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB，求得sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合B的范围求得B的值．

解答 解：由余弦定理得，a²-b²=c²-2bccosA，
将已知条件ac=b²-a² 代入上式，化简可得ac=$\sqrt{3}$bc-c²，则$\sqrt{3}$b-c=a．
再由正弦定理，可得$\sqrt{3}$sinB-sinC=sin$\frac{π}{6}$．…（4分）
又sinC=sin（$\frac{5π}{6}$-B）=$\frac{1}{2}$cosB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB，
所以$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB-$\frac{1}{2}$cosB=$\frac{1}{2}$，即sin（B-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$．…（10分）
因为-$\frac{π}{6}$＜B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，所以B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即B=$\frac{π}{3}$．…（12分）
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查余弦定理、诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．