Question

4．已知在正整数数列{a_n}中，前n项和S_n满足：S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30，求数列{b_n}的前n项和的最小值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²利用递推式化为（a_n-a_n-1-4）（a_n+a_n-1）=0，由于?n∈N^*，a_n＞0，可得a_n-a_n-1=4．利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30=2n-31．由b_n≤0，解得$n≤\frac{31}{2}$，因此前15项的和最小．利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²，∴当n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{8}（{a}_{1}+2）^{2}$，化为$（{a}_{1}-2）^{2}$=0，解得a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{8}$（a_n+2）²-$\frac{1}{8}（{a}_{n-1}+2）^{2}$，化为（a_n-a_n-1-4）（a_n+a_n-1）=0，
∵?n∈N^*，a_n＞0，∴a_n-a_n-1=4．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为2，公差为4，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（2）b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30=$\frac{1}{2}（4n-2）-30$=2n-31．
由b_n≤0，解得$n≤\frac{31}{2}$，因此前15项的和最小．
又数列{b_n}是等差数列，
∴数列{b_n}的前15项和T₁₅=$\frac{15（-29+2×15-31）}{2}$=-225．
∴数列{b_n}的前n项和的最小值为-225．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．