Question

2．已知p：-2x²+3x-1≥0，q：x²-（2a-1）x+a²≤a，若￢q是￢p的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[1，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 根据命题p和q，利用一元二次不等式的解法分别求出命题p和q，￢q是￢p的充分不必要条件可以推出p⇒q，从而求出实数a的取值范围；

解答 解：由：-2x²+3x-1≥0得2x²-3x+1≤0，得（x-1）（2x-1）≤0，
解得$\frac{1}{2}≤x≤1$，即p：$\frac{1}{2}≤x≤1$，
由x²-（2a-1）x+a²≤a得x²-（2a-1）x+a²-a≤0，
x²-（2a-1）x+a（a-1）≤0得（x-a）[x-（a-1）]≤0，
得a-1≤x≤a，即q：a-1≤x≤a，
若￢q是￢p的充分不必要条件，
即p是q的充分不必要条件，
则p⇒q，但q⇒p不成立．
则$\left\{\begin{array}{l}{a-1≤\frac{1}{2}}\\{a≥1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{3}{2}}\\{a≥1}\end{array}\right.$，解得：1≤a≤$\frac{3}{2}$
故答案为：[1，$\frac{3}{2}$]

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性将￢q是￢p的充分不必要条件，转化为p是q的充分不必要条件是解决本题的关键．