Question

14．若数列{a_n}是公比为q的等比数列，证明：S_n+m=S_n+qⁿS_m．

Answer 1

分析 当公比q=1时，易得S_n+m=S_n+qⁿS_m=（n+m）a₁；当公比q≠1时，由求和公式代入验证可得S_n+m=S_n+qⁿS_m=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q^n+m），综合可得．

解答 证明：当公比q=1时，有S_n=na₁，
∴S_n+m=（n+m）a₁，
S_n+qⁿS_m=na₁+1ⁿma₁=（n+m）a₁，
∴S_n+m=S_n+qⁿS_m；
当公比q≠1时，有S_n=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ），
∴S_n+m=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q^n+m），
S_n+qⁿS_m=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ）+qⁿ$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q^m）
=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-qⁿ+qⁿ-q^m+n）=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q^n+m），
∴S_n+m=S_n+qⁿS_m．
综上可得S_n+m=S_n+qⁿS_m

点评 本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属基础题．