Question

19．设非空集合A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，x∈A}，C={y|y=x²，x∈A}，是否存在实数a，使B∩C=C？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 B∩C=C等价为C⊆B，根据集合关系进行求解即可．

解答 解：当-2≤x≤a时，-4≤2x≤2a，-1≤2x+3≤2a+3，
即B=[-1，2a+3]，
若B∩C=C，
则等价为C⊆B，
则2a+3≥0，即a≥-$\frac{3}{2}$，
若-$\frac{3}{2}$≤a≤2，
则C={y|y=x²，x∈A}={y|0≤x≤4}，此时满足2a+3≥4，即a≥$\frac{1}{2}$，此时$\frac{1}{2}$≤a≤2，
若a＞2，则C={y|y=x²，x∈A}={y|0≤x≤a²}，此时满足2a+3≥a²，
即a²-2a-3≤0，此时-1≤a≤3，此时2＜a≤3，
综上$\frac{1}{2}$≤a≤3．

点评 本题主要考查集合的关系的应用，根据函数值域之间的关系是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．