Question

7．不等式$\sqrt{2x+1}$＞$\sqrt{x+1}$-1的解是（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，+∞]
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 不等式即$\left\{\begin{array}{l}{2x+1≥0}\\{x+1≥0}\\{\sqrt{2x+1}+1＞\sqrt{x+1}}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x≥-\frac{1}{2}}\\{2\sqrt{2x+1}＞-x-1}\end{array}\right.$，由此求得x的范围．

解答 解：由不等式$\sqrt{2x+1}$＞$\sqrt{x+1}$-1，可得$\left\{\begin{array}{l}{2x+1≥0}\\{x+1≥0}\\{\sqrt{2x+1}+1＞\sqrt{x+1}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥-\frac{1}{2}}\\{2x+1+2\sqrt{2x+1}+1＞x+1}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x≥-\frac{1}{2}}\\{2\sqrt{2x+1}＞-x-1}\end{array}\right.$ ①．
由于当x≥-$\frac{1}{2}$时，-x-1＜0，2$\sqrt{2x+1}$＞-x-1恒成立，
解得①的解为 x≥-$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查根式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．