Question

18．设F₁，F₂分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF₂|=|F₁F₂|，且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率．

解答 解：依题意|PF₂|=|F₁F₂|，可知三角形PF₂F₁是一个等腰三角形，
F₂在直线PF₁的投影是其中点，
且F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，
由勾股定理可知|PF₁|=4b，
根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，
代入c²=a²+b²整理得3b²-4ab=0，
求得$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$，即b=$\frac{4}{3}$a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{5}{3}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线的定义、方程和性质，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．