Question

13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S是△ABC的面积，tanB=$\frac{2a-c+bcosA}{bsinA}$
（Ⅰ）求B的值
（Ⅱ）设a=8，S=10$\sqrt{3}$，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用同角三角函数的基本关系、正弦定理、诱导公式cosB的值，可得B的值．
（Ⅱ）由条件利用S=10$\sqrt{3}$求得c的值，再利用余弦定理求得b的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，∵tanB=$\frac{2a-c+bcosA}{bsinA}$，
∴bsinAsinB=（2a-c+bcosA）cosB．
利用正弦定理可得sinAsin²B=（2sinA-sinC+sinBcosA）cosB，
∴sinAsin²B-sinBcosAcosB=2sinAcosB-sinCcosB．
即-sinBcos（（A+B）=2sinAcosB-sinCcosB，∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
即sin（B+C）=2sinAcosB，∴cosB=$\frac{1}{2}$，B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵a=8，S=10$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$ac•sinB=2$\sqrt{3}$c，∴c=5．
再由余弦定理可得b=$\sqrt{{a}^{2}{+c}^{2}-2ac•sinB}$=$\sqrt{64+25-2×8×5×\frac{1}{2}}$=7．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．