Question

3．已知数列{a_n}满足a₁=15，且3a_n+1=3a_n-2，若a_k•a_k+1＜0，则正整数k=（　　）

• A． 21
• B． 22
• C． 23
• D． 24

Answer 1

分析 3a_n+1=3a_n-2，变形为${a}_{n+1}-{a}_{n}=-\frac{2}{3}$，利用等差数列的通项公式可得a_n，由a_k•a_k+1＜0，利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答 解：∵3a_n+1=3a_n-2，
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}=-\frac{2}{3}$，
∴数列{a_n}是等差数列，首项a₁=15，公差为-$\frac{2}{3}$．
∴${a}_{n}=15-\frac{2}{3}（n-1）$=$\frac{47-2n}{3}$．
∵a_k•a_k+1＜0，
∴$\frac{47-2k}{3}×\frac{47-2（k+1）}{3}$＜0，
化为（2k-45）（2k-47）＜0，
解得$\frac{45}{2}＜k＜\frac{47}{2}$，
∴正整数k=23．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．