Question

19．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=1+$\frac{1}{2}$a_n，写出数列的前5项，并归纳{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=1+$\frac{1}{2}$a_n，可得a₂=$\frac{3}{2}$，a₃=$\frac{7}{4}$，a₄=$\frac{15}{8}$，a₅=$\frac{31}{16}$．猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．下面给出证明：a_n+1=1+$\frac{1}{2}$a_n，变形为${a}_{n+1}-2=\frac{1}{2}（{a}_{n}-2）$，利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=1+$\frac{1}{2}$a_n，
∴a₂=$1+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
a₃=$1+\frac{3}{4}$=$\frac{7}{4}$，a₄=1+$\frac{7}{8}$=$\frac{15}{8}$，${a}_{5}=1+\frac{15}{16}$=$\frac{31}{16}$．
猜想a_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．
下面给出证明：a_n+1=1+$\frac{1}{2}$a_n，变形为${a}_{n+1}-2=\frac{1}{2}（{a}_{n}-2）$，
∴数列{a_n-2}是等比数列，首项为-1，公比为$\frac{1}{2}$．
∴${a}_{n}-2=-（\frac{1}{2}）^{n-1}$
∴a_n=$2-\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了观察分析猜想归纳问题的能力、等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．