Question

10．某工厂于去年下半年对生产工艺进行了改造（每半年为一个生产周期），从去年一年的产品中用随机抽样的方法抽取了容量为50的样本，用茎叶图表示，如图所示．已知每个生产周期内与其中位数误差在±5范围内（含±5）的产品为优质品，与中位数误差在±15范围内（含±15）的产品为合格品（不包括优质品），与中位数误差超过±15的产品为次品．企业生产一件优质品可获利润10元，生产一件合格品可获利润5元，生产一件次品要亏损5元
（Ⅰ）试完成这个样本的50件产品的利润的频率分布表：

利润（元）	频数	频率
10	15	0.3
5	21	0.42
-5	14	0.28

（Ⅱ）是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．
附：

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）确定上、下半年的数据，可得“中位数”，优质品，合格品，次品的个数，可得频率分布表；
（Ⅱ）求出K²，与临界值比较，即可得出是否有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．

解答 解：（Ⅰ）上半年的数据为：43，44，48，51，52，56，57，59，61，64，65，65，65，68，72，73，75，76，76，83，84，87，88，91，93其“中位数”为65，优质品有6个，合格品有10个，次品有9个．下半年的数据为：43，49，50，54，54，58，59，60，61，62，63，63，65，66，67，70，71，72，72，73，77，79，81，88，92其“中位数”为65，优质品有9个，合格品有11个，次品有5个．则这个样本的50件产品的利润的频率分布表为：

利润	频数	频率
10	15	0.3
5	21	0.42
-5	14	0.28

…（6分）
（Ⅱ）由题意得：

	上半年	下半年
优质品	6	9	15
非优质品	19	16	35
	25	25	50

${K^2}=\frac{{50×{{（{6×16-9×19}）}^2}}}{25×25×15×35}=\frac{6}{7}≈0.857$
由于0.857＜3.841所以没有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”．…（12分）

点评 本题考查利润的频率分布表，考查独立性检验的运用，考查学生的计算能力，比较基础．