Question

14．已知直线l经过抛物线y²=6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
（2）若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离．

Answer 1

分析 （1）由y²=6x，得准线方程、焦点F（1，0）．直线l的方程为y-0=tan60°（x-1.5），与抛物线方程联立，消y，整理得4x²-20x+9=0，其两根为x₁，x₂，且x₁+x₂=5，由抛物线的定义可知线段AB的长；
（2）|AB|=p+x₁+x₂=9，即可求线段AB的中点M到准线的距离．

解答 解：（1）由y²=6x，准线方程为x=-1.5，焦点F（1.5，0）．
直线l的方程为y-0=tan60°（x-1.5），即y=$\sqrt{3}$x-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
与抛物线方程联立，消y，整理得4x²-20x+9=0，其两根为x₁，x₂，且x₁+x₂=5．
由抛物线的定义可知，|AB|=p+x₁+x₂=8．
所以，线段AB的长是8．
（2）|AB|=p+x₁+x₂=9，则$\frac{|AB|}{2}$=4.5
∴线段AB的中点M到准线的距离为4.5．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，属于中档题．