Question

5．已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，b=3，当内角C最大时，△ABC的面积等于（　　）

• A． $\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$
• B． $\frac{6+3\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{3\sqrt{2\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{3\sqrt{6}-3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 利用正弦定理，余弦定理可求cosC最小值，从而可求C的最大值，可求sinA的值，由余弦定理可求c，从而由三角形面积公式即可得解．

解答 解：∵sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，b=3，
由正弦定理可得：a+3$\sqrt{2}$=2c，得c=$\frac{1}{2}$（a+$\sqrt{2}$b），
由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-\frac{1}{4}（a+\sqrt{2}b）^{2}}{2ab}$=$\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{1}{2}{b}^{2}}{2ab}-\frac{\sqrt{2}}{4}$≥$\frac{2•\frac{\sqrt{3}}{2}a•\frac{\sqrt{2}}{2}b}{2ab}-\frac{\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当$\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{2}}{2}b$时，取等号，
故0＜$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$≤cosC＜1，故cosC的最小值是$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
∴可得C的最大值是：$\frac{5π}{12}$，且sinC=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}×3×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，利用基本不等式是解决本题的关键．属于中档题．