Question

14．已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且在[0，+∞）上是增函数．问是否存在这样的实数m，使得f（cos2θ-3）+f（4m-2mcos2θ）＞f（0）对任意的θ∈R都成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 根据f（x）为奇函数，可得到函数f（x）在R上的单调性，且f（0）=0，原不等式可化为f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），即cos2θ-3＞2mcosθ-4m，令t=cosθ，原不等式可转化为t∈[-1，1]时，假设存在m∈R，使得g（t）=t²-mt+2m-2＞0恒成立，将m分离出来利用基本不等式即可求出m的取值范围．

解答 解：∵f（x）为奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，
则f（x）在R上为增函数，且f（0）=0，
所以原不等式可化为f（cos2θ-3）＞f（2mcosθ-4m），
∴cos2θ-3＞2mcosθ-4m，即∴cos²θ-mcosθ+2m-2＞0．
令t=cosθ，t∈[-1，1]，则原不等式可转化为：
t²-mt+2m-2＞0，t∈[-1，1]，整理得m＞$\frac{2-{t}^{2}}{2-t}$=t-2+$\frac{2}{t-2}$+4，
令h（t）=（2-t）+$\frac{2}{2-t}$≥2$\sqrt{2}$，t∈[-1，1]，则当且仅当t=2-$\sqrt{2}$时，h（t）_min=2$\sqrt{2}$，
故m＞（t-2+$\frac{2}{t-2}$+4）_max=4-2$\sqrt{2}$．
即存在这样的m，且m∈（4-2$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，以及利用基本不等式求最值，同时考查了转化的思想，属于中档题．