Question

3．已知e为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率，点（1，e）和$（e\;，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$都在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆相交于两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），设P（bx₁，ay₁）、Q（bx₂，ay₂），若以PQ为直径的圆C恒过坐标原点O，求证：△AOB的面积等于定值．

Answer 1

分析 （I）利用已知条件列出方程，求出a、b，即可求解椭圆C的方程．
（II）当l垂直于x轴时求解△AOB的面积．当l不垂直于x轴时，设l方程：y=kx+m代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，利用韦达定理以及以PQ为直径的圆，求出弦长与点到直线的距离，求解出三角形的面积．

解答 解：（I）由题设知，${a^2}={b^2}+{c^2}，e=\frac{c}{a}$，由点（1，e）在椭圆上，
得$\frac{1}{a^2}+\frac{c^2}{{{a^2}{b^2}}}=1$，∴b²=1，c²=a²-1，…（2分）
由点$（e\;，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆上，得$\frac{c^2}{a^4}+\frac{{{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}}{1}=1$，即$\frac{{{a^2}-1}}{a^4}+\frac{3}{4}=1$，a²=2，
∴椭圆C的方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；…（4分）
（II）当l垂直于x轴时，∵若以PQ为直径的圆C恒过坐标原点O，
易得直线l：x=1，或l：x=-1，△AOB的面积等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（6分）
当l不垂直于x轴时，设l的方程设为：y=kx+m代入$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，△＞0，得m²＜1+2k²，
则${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，…（8分）
∵以PQ为直径的圆C恒过坐标原点O，∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x_1}{x_2}+2{y_1}{y_2}=0$，
即$（1+2{k^2}）{x_1}{x_2}+2km（{x_1}+{x_2}）+2{m^2}=4{m^2}-2（1+2{k^2}）=0$，
整理得1+2k²=2m²，
∴$|AB|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=2\sqrt{\frac{{（1+{k^2}）（1+2{k^2}）}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}}$，
点O到直线y=kx+m距离是$d=\sqrt{\frac{{1+2{k^2}}}{{2（{k^2}+1）}}}$，
∵△OAB的面积=$\frac{1}{2}|AB|d=\sqrt{\frac{{（1+{k^2}）（1+2{k^2}）}}{{{{（1+2{k^2}）}^2}}}}•\sqrt{\frac{{1+2{k^2}}}{{2（{k^2}+1）}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
综上△AOB的面积等于定值$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$． …（12分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．