Question

15．化简：$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+2cosα}}}$（3π＜α＜4π）=2cos$\frac{α}{8}$．

Answer 1

分析 直接利用二倍角的余弦函数化简所求表达式，注意角的范围．

解答 解：3π＜α＜4π，$\frac{α}{2}∈（\frac{3π}{2}，2π）$，$\frac{π}{4}∈（\frac{3π}{4}，π）$，
∴$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+2cosα}}}$
=$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{{4cos}^{2}\frac{α}{2}}}}$
=$\sqrt{2-\sqrt{2+2cos\frac{α}{2}}}$
=$\sqrt{2-\sqrt{4co{s}^{2}\frac{α}{4}}}$
=$\sqrt{2+2cos\frac{α}{4}}$
=$\sqrt{4co{s}^{2}\frac{α}{8}}$
=2cos$\frac{α}{8}$．
故答案为：2cos$\frac{α}{8}$．

点评 本题考查二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力．