Question

6．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=2^x，则有：①函数f（x）的周期为2；②函数在区间（1，2）上是减函数，在区间（2，3）上是增函数；③函数f（x）的最大值是1，最小值是0，其中所有正确命题的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①由于对任意x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），即可得出函数f（x）的周期；
②由函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x，可得x∈[-1，0]时，f（x）=f（-x）=2^-x=$（\frac{1}{2}）^{x}$，再根据①即可判断出单调性；
③由②可得：函数f（x）的最大值是2，最小值是1，即可判断出正误．

解答 解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=2^x，则有：
①∵对任意x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），因此函数f（x）的周期为2，正确；
②∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x，则x∈[-1，0]时，f（x）=f（-x）=2^-x=$（\frac{1}{2}）^{x}$，再根据①可得：此函数在区间（1，2）上是减函数，在区间（2，3）上是增函数，正确；
③由②可得：函数f（x）的最大值是2，最小值是1，因此不正确．
其中所有正确命题的序号是①②．
故选：A．

点评 本题考查了指数函数的周期性、奇偶性单调性，考查了推理能力与几十年令，属于中档题．