Question

10．已知P：-x²+8x+20≥0，Q：x²-2mx+1-2m≤0（m＞0）（该不等式解集不为空）．
（1）若“非Q”充分不必要条件是“非P”，求实数m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得Q是P的必要不充分条件．

Answer 1

分析 （1）若是“非Q”充分不必要条件是“非P”，转化为Q是P的充分不必要条件，即可求实数m的取值范围；
（2）根据必要不充分条件的关系建立条件关系即可．

解答 解：（1）由：-x²+8x+20≥0得：x²-8x-20≤0，解得-2≤x≤10，即P：-2≤x≤10，
若“非Q”充分不必要条件是“非P”，
即非P是非Q的充分不必要条件，即Q是P的充分不必要条件，
设f（x）=x²-2mx+1-2m≤0（m＞0），
则满足$\left\{\begin{array}{l}{△=4{m}^{2}-4（1-2m）≥0}\\{f（-2）=4+4m+1-2m≥0}\\{f（10）=100-20m+1-2m≥0}\\{-2≤-\frac{-2m}{2}≤10}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+2m-1＞0}\\{2m≥-5}\\{22m≤101}\\{-2≤m≤10}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≥-1+\sqrt{2}或m≤-1-\sqrt{2}}\\{m≥-\frac{5}{2}}\\{m≤\frac{101}{22}}\\{-2≤m≤10}\end{array}\right.$，
即$\sqrt{2}-1$≤m≤$\frac{101}{22}$，
即实数m的取值范围是$\sqrt{2}-1$≤m≤$\frac{101}{22}$；
（2）若Q是P的必要不充分条件，
则P⇒Q，
则Q：m-$\sqrt{{m}^{2}+2m-1}$≤x≤m+$\sqrt{{m}^{2}+2m-1}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{m-\sqrt{{m}^{2}+2m-1}≤-2}\\{m+\sqrt{{m}^{2}+2m-1}≥10}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≤-\frac{5}{2}}\\{m≥\frac{101}{22}}\end{array}\right.$，此时不等式不成立，
故不存在m，使得Q是P的必要不充分条件．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断和应用，根据不等式求出对应的关系是解决本题的关键．