Question

15．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n+2n．
（1）写出数列的前3项a₁，a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n+2n，分别取n=1，2，3，联立解出即可；
（2）由S_n=2a_n+2n，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为a_n=2a_n-1-2．变形为a_n-2=2（a_n-1-2），l利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：（1）由S_n=2a_n+2n，分别取n=1，2，3，可得a₁=2a₁+2，a₁+a₂=2a₂+4，a₁+a₂+a₃=2a₃+6，解得a₁=-2，a₂=-6，a₃=-14；
（2）由S_n=2a_n+2n，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n+2n）-（2a_n-1+2n-2），化为a_n=2a_n-1-2．
变形为a_n-2=2（a_n-1-2），
∴数列{a_n-2}是等比数列，首项为-4，公比为2．
∴${a}_{n}-2=-4×{2}^{n-1}$，
∴a_n=-2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．