Question

11．已知锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b²cos2A=b²-8c²
（1）求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$的值；
（2）若cosC=$\frac{15}{17}$，求tanA和tanB的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简已知可得cos²A=$\frac{{b}^{2}-4{c}^{2}}{{b}^{2}}$，由A为锐角，可解得sinA=$\frac{2c}{b}$，由正弦定理得sinB=$\frac{2c}{a}$，sinC=$\frac{2{c}^{2}}{ab}$，将所求化简后代入即可得解．
（2）由（1）$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{2}$，可得tanA=$\frac{2tanB}{tanB-2}$，可求tanC=-tan（A+B）=$\frac{ta{n}^{2}B}{2ta{n}^{2}B-tanB+2}$，由cosC=$\frac{15}{17}$，可求tanC=$\frac{8}{15}$，从而解得tanB，tanA．

解答 解：（1）∵b²cos2A=b²-8c²
∴cos2A=1$-\frac{8{c}^{2}}{{b}^{2}}$=2cos²A-1，解得：cos²A=$\frac{{b}^{2}-4{c}^{2}}{{b}^{2}}$，sin²A=1-cos²A=$\frac{4{c}^{2}}{{b}^{2}}$，
∵A为锐角，可解得：sinA=$\frac{2c}{b}$，
∵由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{\frac{2c}{b}}$=$\frac{ab}{2c}$可得：sinB=$\frac{2bc}{ab}$=$\frac{2c}{a}$，sinC=$\frac{2{c}^{2}}{ab}$，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{sinBcosA+sinAcosB}{sinAsinB}$=$\frac{sinC}{sinAsinB}$=$\frac{\frac{2{c}^{2}}{ab}}{\frac{2c}{b}•\frac{2c}{a}}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵cosC=$\frac{15}{17}$，C为锐角，
∴tanC=$\sqrt{\frac{1}{co{s}^{2}C}-1}$=$\frac{8}{15}$，
∵由（1）有$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{1}{2}$，
∴tanA=$\frac{2tanB}{tanB-2}$，
∵A+B+C=π，
∴tanC=-tan（A+B）=-$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{ta{n}^{2}B}{2ta{n}^{2}B-tanB+2}$，．
∴$\frac{8}{15}$=$\frac{ta{n}^{2}B}{2ta{n}^{2}B-tanB+2}$，
整理得tan²B-tanB+16=0，
解得：tanB=4，
将tanB=4代入得：tanA=$\frac{2tanB}{tanB-2}$=4．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．