Question

2．设数列{a_n}的前n项和S_n，已知a₁=1，a₂=6，a₃=11，且（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=-20n-8，n∈N^*，求证：{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析 由（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=-20n-8，n∈N^*，变形为（5n-8）a_n+1-10S_n=20n-8，当n≥2时，（5n-13）a_n-10S_n-1=20n-28，两式相减可得：（5n-8）a_n+1-（5n-3）a_n=20，再利用利用递推式即可证明．

解答 证明：由（5n-8）S_n+1-（5n+2）S_n=-20n-8，n∈N^*，变形为（5n-8）a_n+1-10S_n=20n-8，
当n≥2时，（5n-13）a_n-10S_n-1=20n-28，
两式相减可得：（5n-8）a_n+1-（5n-3）a_n=20，
当n≥2时，（5n-13）a_n-（5n-8）a_n-1=20，
两式相减可得：（5n-8）a_n+1+（5n-8）a_n-1=2（5n-8）a_n，
化为a_n+1+a_n-1=2a_n，
∴数列{a_n}是等差数列．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．