Question

7．如图，AB，AC为湖岸边相互垂直的两条直路（AB＞1km，AC＞1km），计划在湖中距AB距离为216m，且距AC距离为512m的点P处建造一个观景小亭，并修建一条经过小亭且连接AB，AC的直的观光长廊，设观光长廊与AB，AC分别交于M，N
（1）设∠AMN=θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），把观光长廊MN表示为θ的函数关系式
（2）求MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得NP=$\frac{512}{cosθ}$，PM=$\frac{216}{sinθ}$；从而写出MN即可；
（2）由题意求导可得f′（θ）=8（$\frac{64sinθ}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{27cosθ}{si{n}^{2}θ}$）=8$\frac{（4sinθ）^{3}-（3cosθ）^{3}}{co{s}^{2}θsi{n}^{2}θ}$；从而判断函数的单调性，再求最小值即可．

解答 解：（1）设MN的长度为f（θ）m，
则NP=$\frac{512}{cosθ}$，PM=$\frac{216}{sinθ}$；
故f（θ）=$\frac{512}{cosθ}$+$\frac{216}{sinθ}$，（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）；
（2）f（θ）=$\frac{512}{cosθ}$+$\frac{216}{sinθ}$=8（$\frac{64}{cosθ}$+$\frac{27}{sinθ}$）；
f′（θ）=8（$\frac{64sinθ}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{27cosθ}{si{n}^{2}θ}$）
=8$\frac{（4sinθ）^{3}-（3cosθ）^{3}}{co{s}^{2}θsi{n}^{2}θ}$；
故f（θ）在（0，$\frac{π}{2}$）上先减后增，
且当4sinθ=3cosθ，即sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$时，
f′（θ）=0；
此时f（θ），即MN取得最小值$\frac{512}{\frac{4}{5}}$+$\frac{216}{\frac{3}{5}}$=1000．
即MN的最小值为1000m．

点评 本题考查了函数在实际问题中的应用及导数的综合应用，属于中档题．